IMTT2001秋季賽高中組高級卷(數學)

[TIM]

1.在平面上兩個相異三角形..將其中一個三角形的頂點塗上紅色..另一個三角形的頂點塗上藍色..已知點O同時在此兩個三角形內部..且從點O到任一個紅色頂點距離小於點O到任一個藍色頂點..試證:兩個三角形的頂點共圓|(4分)
這題真的很簡單歐^^我有得證

2.設a,b為正整數..用計號(a,b)表示a,b的最小公倍數..試證:存在100個正整數a1<a2<a3<...<a100..可以符合(a1,a2)>(a2,a3)>(a3,a4)>..>(a99,a100)?(5分)
有點概念..不過不會做

3.將1~64的正整數以不重複的方式填入8X8的方格表中..任意兩個連續正整數必須擁有一個共同邊..試問:這種方格表的任一對角線數值最小值是多少?(6分)
這題也是蠻好玩的..我也得證了

4.設F1為一個任意凸四邊形..對於K>=2..作以下操作..將Fk-1沿其中一條對角線剪開成兩片..然後把其中一片翻面..再將這兩片依照原先切開的的線合併回去..得到一個新的凸四邊形Fk..試證:在F1,F2,F3..Fk中..最少有幾種不全等的凸四邊形..(若四邊行經平移旋轉翻面可找出完全疊合..亦視為全等)(6分)
沒做~_~

5.設a,d為正整數..如果對於任意正整數n..都可以從a+nd中的某個數字或連續某些數字下畫底線..使得所畫底線之數字為n(For instance: a=5,d=10, 15,25,35,45...,105,115)..試證:..d=10^n..(7分)
這題我證的有點虎濫^^"

6.有23個盒子排成一列..首先在第一個盒子中放入一個球..第二個盒子中放入兩個球..依此類推..弟23個盒子中有23個球..然後將這23個盒子任意掉換順序....作以下操作..若某個盒子中有n個球..則從其他球數比n多的盒子中取出n個球加入這個盒子..始之變成2n..試證:無論這23個盒子開始的順序為何..經過以上有限次操作之後..都可以使最左邊的盒子中有一個球..第二個盒子中有兩個球..依此類推..弟23個盒子中有23個球..(7分)
這題也是很模糊的證明..我猜大概拿不了多少分

7.在直角座標平面上有一個三角形ABC..點A,B,C分別為(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3)..已知對任意不全為0個整數h and k..以座標(X1+h,Y1+k),(X2+h,Y1+k),(X3+h,Y3+k)為頂點的三角形與原先的三角形ABC沒有共同的內點..試問:
(a)三角形ABC的面積是否可能大於二分之一?(3分)
(b)求三角形ABC面積的最大值?(6分)
~_~..沒學過內點..根本沒去想

成績是取最高得分的三題總合..考試時間五個小時..今天考的歐^^..

[eros0607]

[QUOTE]最初由 TIM
1.在平面上兩個相異三角形..將其中一個三角形的頂點塗上紅色..另一個三角形的頂點塗上藍色..已知點O同時在此兩個三角形內部..且從點O到任一個紅色頂點距離小於點O到任一個藍色頂點..試證:兩個三角形的頂點共圓|(4分)

若點O在紅色頂點三角形的內部,又紅色頂點三角形在藍色頂點三角形的內部,
何來共圓之說?

6.有23個盒子排成一列..首先在第一個盒子中放入一個球..第二個盒子中放入兩個球..依此類推..弟23個盒子中有23個球..然後將這23個盒子任意掉換順序....作以下操作..若某個盒子中有n個球..則從其他球數比n多的盒子中取出n個球加入這個盒子..始之變成2n..試證:無論這23個盒子開始的順序為何..經過以上有限次操作之後..都可以使最左邊的盒子中有一個球..第二個盒子中有兩個球..依此類推..弟23個盒子中有23個球..(7分)

既然使之變成"2n",那麼最右邊之盒子最後怎會是23?
也就是~何以出現"奇數顆球"???

PS:我個人覺得...時間長是有道理的,因為"題目"果然很困難...
(真是難懂)

[TIM]

>>何來共圓之說?
本來就不可能共圓阿..所以我得證的答案是不可能歐
>>既然使之變成"2n",那麼最右邊之盒子最後怎會是23?
操作完畢之後..會形成一個1~23的數列..其中.2,4,6,8等偶數盒子是用條件配成的..1,3,5,7,9是被拿去扣掉N之後剩下的..所以若總數是23個盒子..我證出來是不可能啦..如果是其他盒子數.就有可能了..

[kindalo]

6.隨便排列組合後,當選定n=偶數的時候並不會影響這時候偶數和奇數的個數
但是當n=奇數的時候,偶數的個數最少加1個最多加2個相對的奇數會減1或是減2
當經過無數個回合時,奇數的個數會趨近於0,所以不得證....

最初由 TIM
>>何來共圓之說?
本來就不可能共圓阿..所以我得證的答案是不可能歐
>>既然使之變成"2n",那麼最右邊之盒子最後怎會是23?
操作完畢之後..會形成一個1~23的數列..其中.2,4,6,8等偶數盒子是用條件配成的..1,3,5,7,9是被拿去扣掉N之後剩下的..所以若總數是23個盒子..我證出來是不可能啦..如果是其他盒子數.就有可能了..

[conankun]

看似簡單
可是驗起來還很煩人....@@
對不起老師,我要向老師要回學費.......^^||

[by1985]

自從懂事以來(大約國小5年級.),就覺得數學是外星語言.不應該屬於地球......

[TIM]

ㄏㄏㄏ..還好啦..數學不是那麼難的啦..想一想就通了..不過那個籃子那一題我也是用這樣的方式去得證的..問題是我覺得這樣的說明感覺很含糊..所以我有點擔心啦..經Jindalo的說明..我想我因該可以拿到那題的分數..^^"

[粉嫩小女巫]

最初由 by1985
自從懂事以來(大約國小5年級.),就覺得數學是外星語言.不應該屬於地球......

哈哈哈哈哈
沒錯
除了+跟-
女巫都覺得數學是外星語言
地球人不知道為什麼要學

[kindalo]

2.設a,b為正整數..用計號(a,b)表示a,b的最小公倍數..試證:存在100個正整數a1<a2<a3<...<a100..可以符合(a1,a2)>(a2,a3)>(a3,a4)>..>(a99,a100)?(5分)

設此數列1,3,9,10,11,15,......,等等
(1,3)=3
(3,9)=9
3>9 矛盾 不用証了....

証起來怪怪..因為這個是"任意"..並不是"存在"
若是要証"存在"必須要找出一個規則..

換個角度來想..說不一定會成功說...
不過出了一份全部都要証錯的考卷,粉難寫耶

[kindalo]

7.在直角座標平面上有一個三角形ABC..點A,B,C分別為(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3)..已知對任意不全為0個整數h and k..以座標(X1+h,Y1+k),(X2+h,Y1+k),(X3+h,Y3+k)為頂點的三角形與原先的三角形ABC沒有共同的內點..試問:
(a)三角形ABC的面積是否可能大於二分之一?(3分)
(b)求三角形ABC面積的最大值?(6分)

如果內點就是兩三角形交叉範圍內任意一個點的話
(a)不可能(了不起就等於0.5)
(b)0.5